Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、G分別是AB、DF的中點．
（1）在AD上（含A、D端點）確定一點P，使得GP∥平面FMC；
（2）一只蒼蠅在幾何體ADF-BCE內自由飛翔，求它飛入幾何體F-AMCD內的概率．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，點P在A點處，取FC中點S，連接GS、MS、GA，根據中位線定理可知GS∥AB且GS=

1

2

AB，從而得到四邊形AGSM為平行四邊形，可證得結論；
（2）先根據三棱錐的體積公式求出F-AMCD的體積與三棱錐的體積公式求出ADF-BCE的體積，最后根據幾何概型的概率公式解之即可．

解答：（本小題滿分12分）．
解：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC
（1）點P在A點處．…（2分）
證明：取FC中點S，連接GS、MS、GA
∵G是DF的中點，
∴GS∥AB，且GS=

1

2

AB，
∴四邊形AGSM為平行四邊形
∴AG∥MS，而AG?平面FMC，MS?平面FMC
∴AG∥面FMC，
∴在AD上（含A、D端點）確定一點P即在A點處，使得GP∥平面FMC；
（2）因為VF-AMCD=

1

3

SAMCD×DF=

1

4

a3，
VADF-BCE=

1

2

a3，…（10分）
所以它飛入幾何體F-AMCD內的概率為

1 4 a3

1 2 a3

=

1

2

…（12分）

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及幾何概型的應用，同時考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．