Question

2012年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多．某調查公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70）[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如圖5的頻率分布直方圖．
（1）某調查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？
（2）求這40輛小型車輛車速的平均數(shù)；
（3）若從車速在[60，70）的車輛中任抽取2輛，求車速在[65，70）的車輛至多有一輛的概率．

Answer 1

分析：（1）這個抽樣是按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣；
（2）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應的橫軸的左邊即為中位數(shù)；利用各個小矩形的面積乘以對應矩形的底邊的中點的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（3）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)和車速在[65，70）的車輛數(shù)．從車速在（60，70）的車輛中任抽取2輛，設車速在[60，65）的車輛設為a，b，車速在[65，70）的車輛設為c，d，e，f，列出各自的基本事件數(shù)，從而求出相應的概率即可．

解答：解：（1）由題意知這個抽樣是按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣．
故調查公司在采樣中，用到的是系統(tǒng)抽樣；
（2）眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點，即眾數(shù)的估計值等于77.5    
設圖中虛線所對應的車速為x，則中位數(shù)的估計值為：
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-75）=0.5，
解得x=77.5，即中位數(shù)的估計值為77.5；  
（3）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)為：m₁=0.01×5×40=2（輛），
車速在[65，70）的車輛數(shù)為：m₂=0.02×5×40=4（輛）      
設車速在[60，65）的車輛設為a，b，車速在[65，70）的車輛設為c，d，e，f，
則所有基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），
（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），
（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15種    
其中車速在[65，70）的車輛至少有一輛的事件有：
（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），
（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），
（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共14種 
所以，車速在[65，70）的車輛至少有一輛的概率為p=

14

15

．

點評：解決頻率分布直方圖的有關特征數(shù)問題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點；中位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數(shù)等于各個小矩形的面積乘以對應的矩形的底邊中點的和．此題把統(tǒng)計和概率結合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應引起重視．