Question

已知定點F（0，1）和直線l₁：y=-1，過定點F與直線l₁相切的動圓圓心為點C．
（1）求動點C的軌跡方程；
（2）過點F在直線l₂交軌跡于兩點P、Q，交直線l₁于點R，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點C到點F的距離等于它到l₁的距離，依據拋物線的定義可知點C的軌跡是以F為焦點，l₁為準線的拋物線，進而求得其軌跡方程．
（2）設出直線l₂的方程與拋物線方程聯立消去y，設出P，Q的坐標，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而可得點R的坐標，表示出，根據均值不等式求得其最小值．
解答：解：（1）由題設點C到點F的距離等于它到l₁的距離，
∴點C的軌跡是以F為焦點，l₁為準線的拋物線
∴所求軌跡的方程為x²=4y
（2）由題意直線l₂的方程為y=kx+1，
與拋物線方程聯立消去y得x²-4kx-4=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
因為直線PQ的斜率k≠0，易得點R的坐標為

=
=
=
=，
∵，當且僅當k²=1時取到等號．
的最小值為16
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，