Question

對于定義域和值域均為[0，1]的函數f（x），定義f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．滿足f_n（x）=x的點x∈[0，1]稱為f的n階周期點．設f（x）=

2x，0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤1

，則f的n階周期點的個數是（　　）

• A、2n
• B、2（2n-1）
• C、2ⁿ
• D、2n²

Answer 1

分析：本題考查的知識點是歸納推理，方法是根據已知條件和遞推關系，先求出f的1階周期點的個數，2階周期點的個數，然后總結歸納其中的規律，f的n階周期點的個數．

解答：解：當x∈[0，

1

2

]時，f₁（x）=2x=x，解得x=0
當x∈（

1

2

，1]時，f₁（x）=2-2x=x，解得x=

2

3

∴f的1階周期點的個數是2
當x∈[0，

1

4

]時，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x解得x=0
當x∈（

1

4

，

1

2

]時，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x解得x=

2

5

當x∈（

1

2

，

3

4

]時，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x解得x=

2

3

當x∈（

3

4

，1]時，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x解得x=

4

5

∴f的2階周期點的個數是2²
依此類推
∴f的n階周期點的個數是2ⁿ
故選C．

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），屬于中檔題．