Question

選做題
如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，AD⊥CE，垂足為D，AC平分∠BAD．
（Ⅰ）求證：直線CE是⊙O的切線；（Ⅱ）求證：AC²=AB•AD．

Answer 1

分析：（I）連接OC，利用△OAC為等腰三角形，結合同角的余角相等，我們易結合AD⊥CE，得到OC⊥DE，根據切線的判定定理，我們易得到結論；
（II）連接BC，我們易證明△ABC∽△ACD，然后相似三角形性質，相似三角形對應邊成比例，易得到結論．

解答：證明：（Ⅰ）連接OC，如下圖所示：
因為OA=OC，
所以∠OCA=∠OAC
又因為AD⊥CE，
所以∠ACD+∠CAD=90°，
又因為AC平分∠BAD，
所以∠OCA=∠CAD，
所以∠OCA+∠CAD=90°，
即OC⊥CE，
所以CE是⊙O的切線
（Ⅱ）連接BC，
因為AB是⊙O的直徑，
所以∠BCA=∠ADC=90°，
因為CE是⊙O的切線，
所以∠B=∠ACD，
所以△ABC∽△ACD，
所以

AC

AB

=

AD

AC

，
即AC²=AB•AD．

點評：本題考查的知識點是圓的切線的判定定理，判斷切線有兩種思路，一是過圓上一點，證明直線與過該點的直徑垂直；一是過圓心作直線的垂線，證明垂足在圓上．