Question

（2013•嘉定區(qū)一模）定義x₁，x₂，…，x_n的“倒平均數(shù)”為

n

x1+x2+…+xn

（n∈N^*）．已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為

1

2n+ 4

，記c_n=

an

n+1

（n∈N^*）．
（1）比較c_n與c_n+1的大小；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=-x²+4x，對(duì)（1）中的數(shù)列{c_n}，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）≤c_n對(duì)任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的實(shí)數(shù)λ；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=1，b₂=b（b∈R且b≠0），b_n=|b_n-1-b_n-2|（n∈N^*且n≥3），且{b_n}是周期為3的周期數(shù)列，設(shè)T_n為{b_n}前n項(xiàng)的“倒平均數(shù)”，求

lim

n→∞

T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

n

Sn

=

1

2n+4

，可得S_n=2n²+4n，進(jìn)而可得a_n=4n+2（n∈N^*），c_n=

an

n+1

=4-

2

n+1

，從而可得c_n+1-c_n＞0，由此可得結(jié)論；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）≤c_n對(duì)任意n∈N^*恒成立，即-x²+4x≤c_n對(duì)任意n∈N^*恒成立，從而可得x²-4x+3≥0，解不等式，即可得到結(jié)論；
（3）由b₁=1，b₂=b，得b₃=|b-1|，分類(lèi)討論，結(jié)合{b_n}是周期為3的周期數(shù)列，可得{b_n}為1，1，0，1，1，0，…，進(jìn)而可得S_n=

2n 3 ，n=3k 2n+2 3 ，n=3k-1 2n+1 3 ，n=3k-2

，由此可求結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，由題意得

n

Sn

=

1

2n+4

，所以S_n=2n²+4n，…（1分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=6，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，而a₁也滿(mǎn)足此式．
所以a_n=4n+2（n∈N^*）．…（1分）
所以c_n=

an

n+1

=4-

2

n+1

，…（1分）
∴c_n+1-c_n=

2

n+1

-

2

n+2

=

2

(n+1)(n+2)

＞0，因此c_n＜c_n+1．…（1分）
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）≤c_n對(duì)任意n∈N^*恒成立，
即-x²+4x≤c_n對(duì)任意n∈N^*恒成立，…（2分）
由（1）知數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，（2分）
解得x≤1或x≥3．…（1分）
所以存在最大的實(shí)數(shù)λ=1，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）≤c_n對(duì)任意n∈N^*恒成立．…（1分）
（3）由b₁=1，b₂=b，得b₃=|b-1|，…（1分）
①若b≥1，則b₃=b-1，b₄=|b₃-b₂|=1，b₅=|2-b|，因?yàn)閧b_n}是周期為3的周期數(shù)列，故b₅=b₂=b，所以|2-b|=b，所以2-b=b，2-b=-b（舍），故b=1．
此時(shí)，{b_n}為1，1，0，1，1，0，…．符合題意．…（1分）
②若b＜1，則b₃=1-b，b₄=|b₃-b₂|=|1-2b|，因?yàn)閧b_n}是周期為3的周期數(shù)列，故b₄=b₁=1，所以|1-2b|=1，即1-2b=1或1-2b=-1，解得b=0或b=1，均不合題意．…（1分）
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則對(duì)n∈N^*，有S_n=

2k，n=3k 2k，n=3k-1 2k-1，n=3k-2

…（1分）
即S_n=

2n 3 ，n=3k 2n+2 3 ，n=3k-1 2n+1 3 ，n=3k-2

，
所以T_n=

3 2 ，n=3k 3n 2n+2 ，n=3k-1 3n 2n+1 ，n=3k-2

，
因此

lim

n→∞

T_n=

3

2

．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立問(wèn)題，考查數(shù)列的求和與極限，確定數(shù)量的通項(xiàng)是關(guān)鍵．