Question

對于定義域為D的函數y=f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②存在區間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數．
（1）求閉函數y=-x³符合條件②的區間[a，b]；
（2）判斷函數f（x）=

3

4

x+

1

x

（x＞0）是否為閉函數？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）可設區間[a，b]滿足條件，則[f（b），f（a）]與它相同，從而求得a、b的值；
（2）x＞0時，f（x）有最小值，不是定義域上的增函數或減函數，從而知f（x）不是閉函數．

解答：解：（1）由題意，函數y=-x³是R上的減函數，若滿足x∈[a，b]⊆R，且f（x）的值域為[a，b]；則f（a）=-a³，f（b）=-b³；
∴

b=-a3 a=-b3

，且b＞a；解得

a=-1 b=1

，
所以，所求的區間為[-1，1]．
（2）∵當x＞0時，f（x）=

3

4

x+

1

x

≥2

3 4 x• 1 x

=

3

，當且僅當

3

4

x=

1

x

，即x=

2

3

時“=”成立，
∴f（x）不是（0，+∞）上的增函數或減函數；
所以，函數f（x）不是（0，+∞）上的閉函數．

點評：本題考查了新定義下的數學問題，利用題目中的定義來解答數學問題，有一定的挑戰性．