Question

（本題滿分12分）
設是定義在上的奇函數，函數與的圖象關于軸對稱，且當時，．
（I）求函數的解析式；
（II）若對于區間上任意的，都有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；
（2），實數的取值范圍為．

本題主要考查函數恒成立問題以及函數解析式的求解及常用方法和奇偶函數圖象的對稱性，是對函數知識的綜合考查，屬于中檔題．
（1）先利用函數g（x）與f（x）的圖象關于y軸對稱得：f（x）的圖象上任意一點P（x，y）關于y軸對稱的對稱點Q（-x，y）在g（x）的圖象上；然后再利用x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]，則f（x）=g（-x）求出一段解析式，再利用定義域內有0，可得f（0）=0；最后利用其為奇函數可求x∈（0，1]時對應的解析式，綜合即可求函數f（x）的解析式；
（2）先求出f（x）在（0，1]上的導函數，利用其導函數求出其在（0，1]上的單調性，進而求出其最大值，只須讓起最大值與1相比即可求出實數a的取值范圍
解：（1）∵的圖象與的圖象關于y軸對稱，
∴的圖象上任意一點關于軸對稱的對稱點在的圖象上．
當時，，則．    2分
∵為上的奇函數，則．                  3分
當時，，．    5分
∴                          6分
（2）由已知，．
①若在恒成立，則．
此時，，在上單調遞減，，
∴的值域為與矛盾．                             8分
②當時，令，
∴當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
∴．              10分
由，得．
綜上所述，實數的取值范圍為．                               12分