Question

如圖（a）所示，在邊長為2的正方形ABB₁A₁中，C，C₁分別是AB，A₁B₁的中點，現將正方形ABB₁A₁沿CC₁折疊，使得平面ACC₁A_1⊥平面CBB₁C₁，連接AB，A₁B₁，AB₁，如圖（b）所示，F是AB₁的中點，E是CC₁上的點．
（1）當E是棱CC₁中點時，求證：EF⊥平面ABB₁A₁；
（2）在棱CC₁上是否存在點E，使得二面角A-EB₁-B的大小為45°？若存在，求CE的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意得到三角形相似，得到線段相等進而得到EF⊥AB₁，同理可得：EF⊥A₁B，然后結合線面垂直的判定定理可得線面垂直．
（2）以C為坐標原點，射線CA，CB，CC₁為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標系C-xyz，設出E點坐標，分別求出平面AEB₁與EB₁B的法向量，根據二面角A-EB₁-B的大小是45°，代入向量夾角公式，構造方程即可得到答案．

解答：解：（1）連接BA₁，BE，EA₁，EA，EB₁，
因為△ACE≌B₁C₁E，
所以AE=B₁E．
又因為在△AB1F中，F為AB1的中點，
所以EF⊥AB₁．
同理可得：EF⊥A₁B．
因為A₁B∩AB₁=F，
所以EF⊥平面A₁B₁BA．
（2）由已知可得CA⊥CB，CA⊥CC₁，CB⊥CC₁，所以建立空間直角坐標系如圖所示：

所以C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B₁（0，1，2），假設存在點E，設E（0，0，a），
所以

AE

=(-1，0，a)，

AB1

=(-1，1，2)．
設平面AB₁E的法向量為

n

=(x，y，z)，
所以

AE • n =0 AB1 • n =0

，即

-x+az=0 -x+y+2z=0

，
所以取

n

=(a，a-2，1)．
因為平面BB1E的法向量為

m

=(1，0，0)，
所以cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

2

2

，
所以解得：a=

5

4

．
所以在棱CC₁上存在點E，使得二面角A-EB₁-B的大小為45°．

點評：本小題主要考查直線與平面垂直的判定定理，以及二面角的平面角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．