Question

（2012•黃浦區一模）（理科）已知函數f（x）=

2 π |x-π|，  (x＞ π 2 ) sinx，   (0≤x≤ π 2 ) x2+x，   (x＜0)

，M是非零常數，關于X的方程f（x）=m（m∈R）有且僅有三個不同的實數根，若b、a分別是三個根中的最小根和最大根，則β•sin(

π

3

+α)=

1+ 5

4

．

Answer 1

分析：同一坐標系內作出函數y=f（x）的圖象和直線y=m，因為兩圖象有且僅有三個公共點，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=

-1- 5

2

，最大根α=

3π

2

，將它們代入再化簡，即可得到要求值式子的值．

解答：解：作出函數y=f（x）的圖象如圖，

可得函數f（x）的單調減區間為（-∞，-

1

2

）和（

π

2

，π）；單調增區間為（-

1

2

，

π

2

）和（π，+∞），
f（x）的極大值為f（

π

2

）=1，極小值為f（-

1

2

）=-

1

4

和f（π）=0
將直線y=m進行平移，可得當m=1時，兩圖象有且僅有三個不同的公共點，
相應地方程f（x）=m（m∈R）有且僅有三個不同的實數根．
令f（x）=1，得x₁=

-1- 5

2

，x₂=

π

2

，x₃=

3π

2

，所以β=

-1- 5

2

，α=

3π

2

，
∴β•sin(

π

3

+α)=

-1- 5

2

•sin

11π

6

=

-1- 5

2

•（-

1

2

）=

1+ 5

4

故答案為：

1+ 5

4

點評：本題以分段函數為例，求方程的最大根和最小根，并且用這個根來求值，著重考查了函數與方程的關系，以及三角函數求值等知識，屬于中檔題．