Question

【題目】若過點可作曲線的切線恰有兩條，則的最小值為__________

Answer 1

【答案】

【解析】

求出f（x）的導數，設切點（x0，f（x0）），求得切線的方程，代入切點，整理化簡可得2x03﹣（3+3a）x02+6ax0+b=0（*）由條件切線恰有兩條，方程（*）恰有兩根．令u（x）=2x3﹣（3+3a）x2+6ax+b，求出導數，求得極值點，令其中一個極值為0，可得3a+b=1，運用乘1法和基本不等式，計算即可得到所求最小值．

f′（x）=3x2﹣6x，

過點P（a，b）作曲線的切線，

設切點（x0，f（x0）），則切線方程為：y﹣b=（3x02﹣6x0）（x﹣a），

將（x0，f（x0））代入得：f（x0）=（3x02﹣6x0）（x0﹣a）+b=x03﹣3x02，

即2x03﹣（3+3a）x02+6ax0+b=0（*）

由條件切線恰有兩條，方程（*）恰有兩根．

令u（x）=2x3﹣（3+3a）x2+6ax+b，u′（x）=6x2﹣（6+6a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），

可得u（1）=0或u（a）=0，

即有3a+b=1或b=a3﹣3a2（舍去），

則=（3a+b）（）=4++≥4+2=4+2，

當且僅當b=a=時，取得等號．

即有的最小值為4+2，

故答案為：4+2