Question

（本小題滿分14分）

設函數的定義域為R，當x＜0時，＞1，且對任意的實數x，y∈R，有.

(1)求,判斷并證明函數的單調性；

(2)數列滿足,且，

①求通項公式；

②當時，不等式對不小于2的正整數

恒成立，求x的取值范圍.

 

 

Answer 1

【答案】

f（x）在R上減函數

（1，+∞）

【解析】解：(1) 時，f（x）＞1；

令x=－1，y=0則f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1，

∴f（0）=1 ．    ……………………………2分

若x＞0，則f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故，

故x∈R   f（x）＞0．…………………………………………………4分

任取x₁＜x₂ ，，

，

故f（x）在R上減函數．……………………………6分

(2) ①  ，…………8分

由f（x）單調性得 a_n+1=a_n+2 ， 故{a_n}等差數列 ，  ．………………9分

②，

           是遞增數列．………………………11分

當n≥2時，，

，……………………………12分

即．

而a＞1，∴x＞1，

故x的取值范圍（1，+∞）．……………………………14分