Question

已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上．
（1）求拋物線和橢圓的標準方程；
（2）過點的直線交拋物線于兩不同點，交軸于點，已知，求的值；
（3）直線交橢圓于兩不同點，在軸的射影分別為，，若點滿足，證明：點在橢圓上．

Answer 1

(1) ,;(2)-1;(3)詳見解析.

試題分析：(1)根據拋物線的焦點坐標滿足圓的方程確定等量關系，求解拋物線方程；根據橢圓的焦點和右定點也在圓上，確定橢圓方程；（2）利用已知的向量關系式進行坐標轉化求出，然后通過直線與拋物線方程聯立，借助韋達定理進行化簡并求值;(3)借助向量問題坐標化和點在橢圓上，明確點S的坐標，進而證明其在橢圓上．
試題解析：（1）由拋物線的焦點在圓上得：，
∴拋物線 .                          2分
同理由橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在
上可解得：．
得橢圓．                                            4分
（2）設直線的方程為，則．
聯立方程組，消去得：
且                           5分
由得：
整理得：
．                8分
（3）設，則
由得；① ；②
；③                                                11分
由①+②+③得
∴滿足橢圓的方程，命題得證．               13分