Question

【題目】已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且該橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為，點在線段的垂直平分線上，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】】試題分析： 由拋物線方程求得焦點坐標，求得的值，由雙曲線的離心率公式求得其離心率，則，即可求得橢圓的半長軸的值，則，即可求得半短軸，即可求得橢圓的方程；

⑵將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理求得，則，

，即可求得點坐標，由中點坐標公式求得點坐標，分類當及當時，由，根據向量的坐標表示，即可求得的值

解析：（I）拋物線的焦點坐標為，所以

雙曲線的離心率為，所以橢圓的離心率，

故橢圓的

所以橢圓方程為：

（II）由（I）知，且直線的斜率必存在，設斜率為，

則直線方程為： ，設點的坐標為，

聯立方程，方程消去整理得：

兩點坐標滿足上述方程，由韋達定理得，

所以，

所以， 的坐標為，

線段的中點為,則點坐標為

以下分兩種情況：

當時，點的坐標為,線段的垂直平分線為軸，于是

時，線段的垂直平分線方程為

，令，解得

由

所以：