Question

已知函數f（x）=x³+ax²-2x+5．
（1）若函數f（x）在（-

1

3

，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，求實數a的值；
（2）是否存在正整數a，使得f（x）在 x∈(-3，

1

6

)上必為單調函數？若存在，試求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f′（1）=0，求導數代入數值解方程可得；
（2）假設存在正整數a，要滿足題意，只需

f′(-3)≤0 f′( 1 6 )≤0

，解不等式可得

25

6

≤a≤

23

4

，可得答案．

解答：解：（1）∵函數f（x）在（-

1

3

，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
∴函數f（x）在x=1處取極小值，故f′（1）=0，
求導數可得f′（x）=3x²+2ax-2，可得1+2a=0，解得a=-

1

2

；
（2）假設存在正整數a，使得f（x）在 x∈(-3，

1

6

)上必為單調函數，
則f′（x）=3x²+2ax-2在x∈(-3，

1

6

)上恒大于等于0，或恒小于等于0，
∵△=4a²+12＞0，∴f′（x）=3x²+2ax-2=0必有兩不等實根x₁，x₂，
要滿足題意只需兩根x₁＜-3，x₂＞

1

6

，即

f′(-3)≤0 f′( 1 6 )≤0

，
解得

25

6

≤a≤

23

4

，可知存在正整數a=5滿足要求．

點評：本題考查函數的單調性和導數的關系，實際函數的極值問題，屬中檔題．