Question

在邊長為6cm的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，構成一個三棱錐．
（1）判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；
（2）求多面體E-AFMN的體積．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖形的翻折規律可知MN應是△ABF的一條中位線，利用線面平行的判定定理即可求證；
（2）利用條件及線面垂直的判定定理可知

AB⊥BE AB⊥BF

?AB平面BEF，在利用錐體的體積公式即可．

解答：證明：（1）因翻折后B、C、D重合（如圖），
所以MN應是△ABF的一條中位線，
則

MN∥AF MN?平面AEF AF?平面AEF

?MN∥平面AEF．
（2）解：因為

AB⊥BE AB⊥BF

?AB⊥面BEF
且AB=6，BE=BF=3，
∴V_A-BEF=9，
又

VE-AFMN

VE-ABF

=

SAFMN

S△ABF

=

3

4

，
∴VE-AFMN=

27

4

．

點評：此題考查了圖象的翻折規律，線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理及錐體的體積公式．