Question

已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線4x+3y-29=0相切．
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）設直線ax-y+5=0（a＞0）與圓相交于A，B兩點，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（-2，4），若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5，所以 

|4m-29|

5

=5，由此能求了圓的方程．
（Ⅱ）把直線ax-y+5=0代入圓的方程，得（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0，由于直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點，故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，由此能求出實數a的取值范圍．
（Ⅲ）設符合條件的實數a存在，則直線l的斜率為-

1

a

，l的方程為y=-

1

a

(x+2)+4，由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，由此推導出存在實數a=

3

4

使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．
由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5，
所以 

|4m-29|

5

=5，
即|4m-29|=25．因為m為整數，故m=1．
故所求圓的方程為（x-1）²+y²=25． …（4分）
（Ⅱ）把直線ax-y+5=0，即y=ax+5，
代入圓的方程，消去y，
整理，得（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0，
由于直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點，
故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，
即12a²-5a＞0，
由于a＞0，解得a＞

5

12

，
所以實數a的取值范圍是（

5

12

，+∞）．
（Ⅲ）設符合條件的實數a存在，
則直線l的斜率為-

1

a

，
l的方程為y=-

1

a

(x+2)+4，
即x+ay+2-4a=0
由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2-4a=0，解得a=

3

4

．
由于

3

4

∈(

5

12

，+∞)，故存在實數a=

3

4

使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．…（14分）

點評：本題考查圓的方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，探索滿足條件的實數是否存在．對數學思維要求較高，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．