Question

定義在R上的函數，，當時，，且對任意實數，
有，
求證：；
（2）證明：是R上的增函數；
（3）若，求的取值范圍。

Answer 1

（1）a=b=0，得f(0)=1。
（2）任取x₂>x₁，則f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0
利用 得到 f(x₂)>f(x₁) 。
（3）0<x<3

解析試題分析：（1）令a=b=0，則f(0)=[f(0)]²∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1             4
（2）任取x₂>x₁，則f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0
∴  ∴ f(x₂)>f(x₁) ∴ f(x)在R上是增函數
8
（3）f(x)·f(2x-x²)=f[x+(2x-x²)]=f(-x²+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上遞增
∴ 由f(3x-x²)>f(0)得：x-x²>0 ∴ 0<x<3                       12
考點：函數的單調性，抽象函數不等式的解法，一元二次不等式的解法，賦值法。
點評：中檔題，本題作為一道“連環題”，可采用分步得分的原則，首先利用“賦值法”解題。本題主要難點是配湊。抽象函數不等式的解法，主要是利用函數的單調性，轉化成具體不等式求解。