Question

已知橢圓：.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設為原點，若點在橢圓上，點在直線上，且，試判斷直線與圓的位置關系，并證明你的結論.

Answer 1

（1）；（2）直線與圓相切.

試題分析：（1）把橢圓：化為標準方程，確定，，利用求得離心率；（2）設點，，其中，由，即，用、表示，當或分別根據點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，與圓的半徑比較，從而判斷直線與圓的位置關系.
（1）由題意橢圓的標準方程為，
所以，，從而，
所以.
（2）直線與圓相切，證明如下：
設點，，其中，
因為，所以，即，解得，
當時，，代入橢圓的方程得，
此時直線與圓相切.
當時，直線的方程為，
即，
圓心到直線的距離為，又，，
故.
故此直線與圓相切.