Question

正四面體ABCD，棱長為1米，一條蟲子從頂點A開始爬行，在每一頂點，它等可能選擇三棱之一，沿這棱到其它頂點，記a_n是蟲子從A開始爬行了n米回到A的概率，則a₃=______；通項公式a_n=______．（n=0，1，2，…）

Answer 1

小蟲從點A出發，一共分3步走，假設第一步到B，則第二部有三種走法，若回到A，則第三步都回不到A，若第二部不到A，可以到C或D，到達下一個頂點后又有三種走法，只有一種能回到A．其它類同．
所以蟲子從A開始爬行了3米回到A的概率為a₃=

2

9

；
n=4：（若第三次爬回去，則第四次就不能會到A）
a4=

1

3

(1-a3)=

1

3

(1-

2

9

)=

7

27

．
n=5：（若第四次爬回去，則第五次就不能會到A）
a5=

1

3

(1-a4)=

1

3

(1-

7

27

)=

20

81

．
…
所以an=

1

3

(1-an-1)=

1

3

(1-

1

4

-

1

4•3n-2

)

=

1

4

+(-

1

3

)n

3

4

．故答案為

2

9

，

1

4

+(-

1

3

)n

3

4

．