Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，過右焦點F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，當直線l的斜率為1時，坐標原點O到直線l的距離為

2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，橢圓C上是否存在點P，使得當直線l繞點F轉到某一位置時，有

OP

=

OA

+

OB

成立？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標及對應的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由O到直線l的距離為

2

2

，l：y=x-c，知

|c|

2

=

2

2

，c=1．由e=

2

2

，知a=

2

，b²=1．由此能求出橢圓C的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）設y=k（x-1）（k≠0）由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此能求出求出所有滿足條件的點P的坐標及對應的直線方程．

解答：解：（1）∵O到直線l的距離為

2

2

，l：y=x-c，
∴

|c|

2

=

2

2

，∴c=1．
∵e=

2

2

，∴a=

2

，∴b²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）設y=k（x-1）（k≠0）
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，消去y得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，
∴y1+y2=k(x1+x2-2)=k(

4k2

1+2k2

-2)=

-2k

1+2k2

．
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴x₀=x1+x2=

4k2

1+2k2

，
∴y₀=y1+y2=

-2k

1+2k2

．
將P點坐標代入橢圓得

( 4k2 1+2k2 )2

2

+(

-2k

1+2k2

)2=1，
∴k4=

1

4

，∴k2=

1

2

，k=±

2

2

．
當k=

2

2

時，P(1，-

2

2

)，直線l：y=

2

2

(x-1)，
當k=-

2

2

時，P(1，

2

2

)，直線l：y=-

2

2

(x-1)．

點評：本題考查橢圓C的方程的求法，探究橢圓C上是否存在點P，使得當直線l繞點F轉到某一位置時，有

OP

=

OA

+

OB

成立．若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標及對應的直線方程；若不存在，請說明理由．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．