Question

已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A₁與A點關于直線y=x對稱.

(1)求雙曲線C的方程.

(2)設直線l過點A，斜率為k,當0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標.

Answer 1

(1) x²－y²=2， (2) B(2,)

解析:

(1)設雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=±1.

即漸近線為y=±x,又點A關于y=x對稱點的坐標為(0，).

∴a==b,所求雙曲線C的方程為x²－y²=2.

(2)設直線l: y=k(x－)(0＜k＜1,

依題意B點在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為.

設直線l′:y=kx+m,應有,

化簡得m²+2km=2                            ②

把l′代入雙曲線方程得(k²－1)x²+2mkx+m²－2=0,

由Δ=4m²k²－4(k²－1)(m²－2)=0 

可得m²+2k²=2                                  ③

②、③兩式相減得k=m,代入③得m²=,解得m=,k=,

此時x=,y=  故B(2,).