Question

（本小題滿分14分）

(1)　證明：當時，不等式成立；

(2)　要使上述不等式成立，能否將條件“”適當放寬？若能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理由；

 (3)請你根據⑴、⑵的證明，試寫出一個類似的更為一般的結論，且給予證明．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；

（2）∵　對任何且，式子與同號，恒成立，

∴　上述不等式的條件可放寬為且．

根據（1）（2）的證明，可推廣為：若且，，，

則有　．

證明：見解析。

【解析】(1)證明易采用作差比較，然后對差值分解因式，再判斷每個因式的符號，從而確定差值符號.

（2）根據（1）先觀察成立時應具體什么條件，然后再采用作差比較法進行證明.

（1）證明：左式－右式＝,

∵　　　，　

∴，

∴　　不等式成立．

（2）∵　對任何且，式子與同號，恒成立，

∴　上述不等式的條件可放寬為且．

根據（1）（2）的證明，可推廣為：若且，，，

則有　．

證明：左式-右式

．

 若，則由不等式成立；

 若，則由不等式成立.

∴　綜上得：　　若　且，，，

則有　成立．

注：（3）中結論為：若且，，

則有　也對．