Question

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，且滿足a1+a2+…+an﹣an+1=﹣2．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足 ，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an﹣an+1=﹣2．

∴a1+a2+…+an﹣1﹣an=﹣2．

相減可得：2an=an+1．

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為 ．

∴an=2× = ．

（II）由（I）可得：a1a2…an= = = ．

bn= × = ．

∴anbn= =（3﹣n） ．

∴Tn=2+1× +0﹣1× ﹣…+（3﹣n） ，

=1+ +0﹣ ﹣…+（4﹣n） +（3﹣n） ．

∴ Tn=2﹣ ﹣ ﹣…﹣ +（n﹣3） =3﹣ +（n﹣3） ．

可得：Tn=2+

【解析】（I）由已知條件可得a1+a2+a3+-an=-2，與已知等式相減；（II）構(gòu)造數(shù)列cn=anbn并求出cn通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法可求出Tn.
【考點(diǎn)精析】利用等比關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．