Question

已知函數f（x）=ax²+4x-2，若對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）對于給定的實數a，有一個最小的負數M（a），使得x∈[M（a），0]時，-4≤f（x）≤4都成立，則當a為何值時，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先將f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

用函數f（x）的表達式表示出來，再進行化簡得：-

a

4

(x1-x2)2＜0，由此式即可求得實數a的取值范圍；
（2）本小題可以從a的范圍入手，考慮0＜a＜2與a≥2兩種情況，結合二次的象與性質，綜合運用分類討論思想與數形結合思想求解．

解答：解：（1）∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c-

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=-

a

4

(x1-x2)2＜0，
∵x₁≠x₂，∴a＞0．∴實數a的取值范圍為（0，+∞）．
（2）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+

2

a

)2-2-

4

a

，
顯然f（0）=-2，對稱軸x=-

2

a

＜0．
①當-2-

4

a

＜-4，即0＜a＜2時，M(a)∈(-

2

a

，0)，且f[M（a）]=-4．
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，
此時M（a）取較大的根，即M(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

，
∵0＜a＜2，∴M(a)=

-2

4-2a +2

＞-1．
②當-2-

4

a

≥-4，即a≥2時，M(a)＜-

2

a

，且f[M（a）]=4．
令ax²+4x-2=4，解得x=

-2± 4+6a

a

，
此時M（a）取較小的根，即M(a)=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

，
∵a≥2，∴M(a)=

-6

4+6a -2

≥-3．當且僅當a=2時，取等號．
∵-3＜-1∴當a=2時，M（a）取得最小值-3．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．