Question

某人在國慶節那天，上午7時，乘摩托艇以勻速v（4≤v≤20）海里/小時從A港出發到距50海里的B港去，然后乘汽車以速度w（30，≤w≤100）公里/小時自B港向距300公里 的C市駛去，打算在同一天下午16點至晚上21點到達C市．設汽車、摩托艇所需要的時間分別是x小時，y小時．
（Ⅰ）確定x，y應滿足的線性約束條件．
（Ⅱ）如果已知所用的經費P=100+3（5-x）+2（8-y）（元），那么v，w分別是多少時走得最經濟？此時需要花費多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析題意，找出相關量之間的不等關系，即x，y滿足的約束條件；
（Ⅱ）由約束條件畫出可行域，要求走得最經濟，即求可行域中的最優解，將目標函數看成是一條直線，分析目標函數Z與直線截距的關系，進而求出最優解．

解答：解：（Ⅰ）依題意得v=

50

y

，w=

300

x

，4≤v≤20，30≤w≤100．
∴3≤x≤10，

5

2

≤y≤

25

2

．
由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應在9至14個小時之間，即9≤x+y≤14．
∴x，y應滿足的線性約束條件為

3≤x≤10 5 2 ≤y≤ 25 2 9≤x+y≤14

；
（Ⅱ）線性約束條件為

3≤x≤10 5 2 ≤y≤ 25 2 9≤x+y≤14

是圖中陰影部分（包括邊界）．
∵p=100+3•（5-x）+2•（8-y），
∴3x+2y=131-p．
設131-p=k，那么當k最大時，p最小．
在通過圖中的陰影部分區域（包括邊界）且斜率為-

3

2

的直線3x+2y=k中，
使k值最大的直線必通過點（10，4），即當x=10，y=4時，p最小．
此時，v=12.5，w=30，p的最小值為93元．

點評：本題考查不等式關系的建立，考查線性規劃知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．