Question

已知滿足：．
（I）求證：數列{a_2k-1}是等差數；數列{a_2k}是等比數列；（其中k∈N^*）；
（II）記a_n=f（n），對任意的正整數n≥2，不等式（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由=，知a_2k+1-a_2k-1=1．由此能夠證明數列{a_2k}是首項為2、公比為2的等比數列．
（II）由a_2k-1=k，a_2k=2^k，知數列{a_n}的通項公式為a_n=，由此能夠求出．
解答：解：（I）=
=，…（2分）
當n=2k-1（k∈N^*）時，
π
=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以數列{a_2k-1}是首項為1、公差為1的等差數列，…（4分）．
所以數列{a_2k}是首項為2、公比為2的等比數列，…（6分）
（II）由（I）可知：a_2k-1=k，a_2k=2^k．
故數列{a_n}的通項公式為a_n=…（7分）
當n為奇數時，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0?λ≥
令g（n）=＜0⇒g（n+1）＜g（n）
所以g（n）為單調遞減函數，∴g（n）_max=g（3）=…（10分）
當n為偶數時，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0?λ≤
，顯然h（n）為單調遞增函數，
h（n）_min=h（2）=1⇒λ≤1
綜上，…（12分）
點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．