Question

已知函數f（x）=lnx，g(x)=ax+

a-1

x

+1（a∈R），F（x）=f（x）-g（x）．
（1）是否存在實數a，使以F（x）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤1恒成立？
（2）當a≤

1

2

時，討論F（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）求導函數，以F（x）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤1恒成立，等價于F′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

≤1（x＞0）恒成立，分類討論，可得結論；
（2）求導函數，分類討論，利用導數的正負，即可得到F（x）的單調性．

解答：解：（1）F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-

a-1

x

-1
∵以F（x）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤1恒成立，
∴F′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

≤1（x＞0）恒成立，
∴（a+1）x²-x-（a-1）≥0①在x＞0時恒成立．
當a≤-1時，①在x＞0時不恒成立
a＜-1時，△=4a²-3，設u（x）=（a+1）x²-x-（a-1），則

a+1＞0 △＜0

或

a+1＞0 △＞0 u(0)=1-a≥0 x=- -1 2(a+1) ＜0

∴-

3

2

＜a＜

3

2

；
（2）F′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

(x＞0)
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
當a=0時，h（x）=1-x，x∈（0，1）時，h′（x）＞0；x∈[1，+∞）時，h′（x）≤0
∴F（x）的單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是[1，+∞）；
當a≠0時，由F′（x）=0可得ax²-x+1-a=0
∴x1=1，x2=

1

a-1

（i）當a=

1

2

時，x₁=x₂，h（x）≥0，F′（x）≤0，函數在（0，+∞）上單調遞減；
（ii）當0＜a＜

1

2

時，

1

a

-1＞1＞0，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函數單調遞減；x∈（1，

1

a

-1）時，h（x）＜0，F′（x）＞0，函數單調遞增；當x∈（

1

a

-1，+∞）時，h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函數單調遞減，
∴函數的單調遞減區間是（0，1），（

1

a

-1，+∞）；單調遞增區間是（1，

1

a

-1）；
（iii）當a＜0時，

1

a

-1＜0，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函數單調遞減；x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，F′（x）＞0，函數單調遞增，
∴函數的單調遞減區間是（0，1）；單調遞增區間是（1，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查分類討論是數學思想，屬于中檔題．