Question

已知橢圓的一個焦點，對應的準線方程為，且離心率e滿足，e，成等比數列．
（1）求橢圓的方程；
（2）試問是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線平分？若存在，求出l的傾斜角的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于成等比數列求得離心率e，設p（x，y）是橢圓上任意一點，依橢圓的定義得x，y的關系式，即為所求的橢圓方程．
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設l存在，設l的方程為：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用中點坐標公式即可求得傾斜角的取值范圍，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）∵成等比數列∴
設p（x，y）是橢圓上任意一點，依橢圓的定義得
即為所求的橢圓方程．
（2）假設l存在，因l與直線相交，不可能垂直x軸
因此可設l的方程為：y=kx+m
由
（k²+9）x²+2kmx+（m²-9）=0①
方程①有兩個不等的實數根
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0即m²-k²-9＜0②
設兩個交點M、N的坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
∴
∵線段MN恰被直線平分
∴
∵k≠0∴③把③代入②得 
∵k²+9＞0∴∴k²＞3解得或
∴直線l的傾斜角范圍為
點評：本題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質的應用，注意（2）的處理存在性問題的一般方法，首先假設存在，進而根據題意、結合有關性質，化簡、轉化、計算，最后得到結論．