Question

在三棱錐SABC中，底面是邊長為2的正三角形，點S在底面ABC上的射影O恰是AC的中點，側棱SB和底面成45°角．

(1)若D為側棱SB上一點，當為何值時，CD⊥AB；
(2)求二面角S-BC-A的余弦值大小．

Answer 1

（1）（2）

以O點為原點，OB為x軸，OC為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標系O-xyz.

由題意知∠SBO＝45°，SO＝3.O(0，0，0)，C(0，，0)，A(0，－，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．
(1)設＝λ(0≤λ≤1)，則＝(1＋λ)＋λ＝(3(1＋λ)，0，3λ)，
所以＝(3(1－λ)，－，3λ)．
因為＝(3，，0)，CD⊥AB，所以·＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝.
故時，CD⊥AB.
(2)平面ACB的法向量為n₁＝(0，0，1)，設平面SBC的法向量n₂＝(x，y，z)，則n₂·＝0，n₂·＝0，則解得取n₂＝(1，，1)，
所以cos〈n₁，n₂〉＝＝.
又顯然所求二面角的平面角為銳角，故所求二面角的余弦值的大小為.