Question

（2013•徐匯區一模）在△ABC中，∠A=60°，M是AB的中點，若|AB|=2，|BC|=2

3

，D在線段AC上運動，則

DB

•

DM

的最小值為

23

16

．

Answer 1

分析：把向量用

DA

，

AB

表示，可化簡數量積的式子為(|

DA

|-

3

4

)2+

23

16

，由余弦定理可得AC的長度，進而可得|

DA

|的范圍，由二次函數區間的最值可得答案．

解答：解：∵

DB

=

DA

+

AB

，

DM

=

DA

+

AM

=

DA

+

1

2

AB

，
故

DB

•

DM

=（

DA

+

AB

）•（

DA

+

1

2

AB

）
=

DA

2+

1

2

AB

2+

3

2

AB

•

DA

=|

DA

|2+2+

3

2

×2×|

DA

|cos60°
=|

DA

|2-

3

2

|

DA

|+2=(|

DA

|-

3

4

)2+

23

16

，
設AC=x，由余弦定理可得(2

3

)2=x2+22-2•2•xcos60°，
整理得x²-2x-8=0，解得x=4或x=-2（舍去），
故有|

DA

|∈[0，4]，由二次函數的知識可知當|

DA

|=

3

4

時，
(|

DA

|-

3

4

)2+

23

16

取最小值

23

16

故答案為：

23

16

點評：本題考查平面向量的數量積的運算，涉及余弦定理和二次函數的最值，屬中檔題．