Question

已知a＞0，a≠1，命題p：“函數f（x）=a^x+1在（0，+∞）上單調遞減”，命題q：“關于x的不等式x2-ax+

1

8

＜0有實數解”，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：運用指數函數的增減性求出命題p中a的范圍，再運用一元二次不等式有解的條件求出命題q中a的范圍，最終結合復合命題的真假判斷方法來解決．

解答：解：命題p：“函數f（x）=a^x+1在（0，+∞）上單調遞減”，
應有：0＜a＜1，
命題q：“關于x的不等式x2-ax+

1

8

＜0有實數解”，
應有：△=a2-

1

2

＞0，得a＜-

2

2

或a＞

2

2

，
又∵a＞0，a≠1，
∴a＞

2

2

且a≠1，
又∵p∧q為假命題，p∨q為真命題，
∴p，q命題一真一假，
（1）當p真q假時，應有：

0＜a＜1 0＜a≤ 2 2 或a=1

⇒0＜a≤

2

2

，
（2）當p假q真時，應有：

a＞1 a＞ 2 2 且a≠1

⇒a＞1，
綜上（1）（2）可得，a的取值范圍是(0，

2

2

]∪(1，+∞)，
故答案為：a的取值范圍是(0，

2

2

]∪(1，+∞)．

點評：本題以復合命題的真假判斷為載體，主要考查了指數函數的單調性和一元二次不等式有解的條件，應當熟練掌握．