Question

已知雙曲線x²-y²=1，設直線y=kx+1與雙曲線C的左支交與一個公共點，求k的取值．

Answer 1

分析：首先分析題目已知直線y=kx+1與雙曲線C的左支交與一個公共點，可以考慮到把直線方程代入雙曲線方程，轉化為求一元二次方程有一個負根的情況，然后分類討論當（1）當k=1時，（2）當k=-1時，（3）當k≠-1或k≠1時的情況即可得到答案．

解答：解：已知直線y=kx+1①與雙曲線C：x²-y²=1②的左支只有一個公共點，即可得到交點的橫坐標小于于0．
把方程①代入②，整理得方程（1-k²）X²-2kx-2=0③恰有一負根，
（1）當k=1時，方程③變為-2x-2=0，得x=-1，成立．
（2）當k=-1時，方程③變為2x-2=0，x=1，不成立舍去．
（3）當k≠-1或k≠1時△=4k²+8（1-K²）=0，k=土

2

k=

2

時x=-

2

；
k=-

2

時x=

2

舍去．
綜上k=

2

 k=1為所求．
故答案為k=

2

或k=1．

點評：此題主要考查直線與圓錐曲線交點的問題，題中涉及到求一元二次方程有一個根的求法，用到分類討論思想和求判別式的方法，有一定的技巧性屬于中檔題目．