已知
，其中是自然常數(shù)，
（Ⅰ）討論
時(shí), 
的單調(diào)性、極值；
（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，
；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是2，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
（Ⅰ）
，
……1分
∴當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)
單調(diào)遞減;
當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)單調(diào)遞增
∴的極小值為
……3分
（Ⅱ）的極小值為1，即在
上的最小值為1，
∴ 
，
……4分
令
，
，當(dāng)
時(shí)，
，
在上單調(diào)遞增∴
∴在（1）的條件下，
……6分
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使
（
）有最小值2，
① 當(dāng)
時(shí)，在上單調(diào)遞減，
，
（舍去），所以，此時(shí)無(wú)最小值. ……8分
②當(dāng)
時(shí)，在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增
，
，滿足條件.
……10分
③ 當(dāng)
時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去）.所以，此時(shí)無(wú)最小值.綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值2.
……12分
金鑰匙試卷系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數(shù)，
（1）討論
時(shí), 
的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實(shí)數(shù)
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆廣東省高二第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文試卷（解析版） 題型：解答題
已知
，其中
是自然常數(shù)，
（1）討論
時(shí), 
的單調(diào)性、極值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆遼寧朝陽(yáng)柳城高中高三上第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
已知
，其中
是自然常數(shù)，
（Ⅰ）當(dāng)
時(shí), 研究
的單調(diào)性與極值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證： 
；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江蘇省高三年級(jí)暑期檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
(本小題滿分16分)
已知
，其中
是自然常數(shù)，
(1)討論
時(shí), 
的單調(diào)性、極值；
(2)求證：在（1）的條件下，
；
(3)是否存在實(shí)數(shù)
，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆四川省高二下學(xué)期期中（文理）數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
（理） 已知
，其中
是自然常數(shù)，
[
（1）討論
時(shí), 
的單調(diào)性、極值；
（2）求證：在（Ⅰ）的條件下，
;
（3）是否存在實(shí)數(shù)
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
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