Question

（1）已知點A是曲線ρ=2sinθ上任意一點，則點A到直線ρsin(θ+

π

3

)=4的距離的最小值是

 

．
（2）已知2x+y=1，x＞0，y＞0，則

x+2y

xy

的最小值是

 

．
（3）如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，直線MN切⊙O于點C，BE∥MN交AC于點E．若AB=6，BC=4，則AE的長為

 

．

Answer 1

分析：（1）把極坐標方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最小距離等于圓心到直線的距離減去半徑．
（2）由題意得  

x+2y

xy

=

1

y

+

2

x

=

2x+y

y

+

4x+2y

x

=

2x

y

+

2y

x

+5，利用基本不等式求最小值．
（3）由題意得∠BCM=∠CBE=∠BAC，∠BCE=∠ACB，根據△ABC∽△BEC，對應邊成比例，求出  CE 的長，即可得到AE的長．

解答：解：（1）曲線ρ=2sinθ   即 ρ²=2ρ sinθ，x²+y²=2y，x²+（y-1）²=1，
表示以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓．
直線ρsin(θ+

π

3

)=4 即

1

2

ρsinθ+

3

2

ρcosθ=4，

3

x+y-8=0．
圓心到直線的距離等于

|0+1-8|

3+1

=

7

2

，故點A到直線ρsin(θ+

π

3

)=4的距離的最小值是

7

2

-1=

5

2

，
故答案為 

5

2

．
（2）

x+2y

xy

=

1

y

+

2

x

=

2x+y

y

+

4x+2y

x

=

2x

y

+

2y

x

+5≥2

2x y • 2y x

+5=9，
故

x+2y

xy

的最小值是 9，故答案為  9．
（3）由題意得∠BCM=∠CBE=∠BAC，∠BCE=∠ACB，∴△ABC∽△BEC，
∴

AB

BC

=

BC

CE

，

6

4

=

4

CE

，∴CE=

8

3

，AE=AC-CE=6-

8

3

=

10

3

，
故答案為 

10

3

．

點評：本題考查把極坐標方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系；基本不等式的應用，利用三角形相似求線段的長度．