Question

已知P（x₀，y₀）是圓C：x²+（y-4）²=1外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A、B，記：四邊形PACB的面積為f（P）
（1）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，求f（P）的值；
（2）當(dāng)P（x₀，y₀）在直線3x+4y-6=0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求f（P）最小值；
（3）當(dāng)P（x₀，y₀）在圓（x+4）²+（y-1）²=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，指出f（P）的取值范圍（可以直接寫出你的結(jié)果，不必詳細(xì)說(shuō)理）；
（4）當(dāng)P（x₀，y₀）在橢圓

x2

4

+y²=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)f（P）=5是否能成立？若能求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：通過(guò)△PAC，△PBC是兩個(gè)全等直角三角形求出f（P）的表達(dá)式，
（1）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，求出|PC|，即可求f（P）的值；
（2）當(dāng)P（x₀，y₀）在直線3x+4y-6=0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出距離最小值，即可求f（P）最小值；
（3）當(dāng)P（x₀，y₀）在圓（x+4）²+（y-1）²=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出|CD|，|PC|的范圍，即可指出f（P）的取值范圍；
（4）利用f（P）=5求出pc，通過(guò)聯(lián)立方程組利用判別式判斷P復(fù)數(shù)存在．

解答：解：因?yàn)椤鱌AC，△PBC是兩個(gè)全等直角三角形，
∴f（P）=2S_△PAC=|PA|•|AC|=|PA|=

PC2-1

              …（3分）
（1）∵P（1，1），C（0，4），∴|PC|=

10

，∴f（P）=3             …（5分）
（2）P（x₀，y₀）在直線3x+4y-6=0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|PC|的最小值為點(diǎn)C到直線3x+4y-6=0的距離d，d=2，
∴f（P）的最小值為

3

                      …（8分）
（3）P（x₀，y₀）在圓D：（x+4）²+（y-1）²=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|CD|=5，
|PC|∈[3，7]，f（P）∈[2

2

，4

3

]…（11分）
（4）f（p）=5?|PC|²=26?x₀²+（y₀-4）²=26，

x 2 0

4

+

y

2 0

=1代入得：
3y₀²+8y₀+6=0，△=-8＜0，故滿足條件的P點(diǎn)不存在．      …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離函數(shù)表達(dá)式值的范圍的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．