Question

對于定義域為R的函數f（x），給出下列命題：
①若函數f（x）滿足條件f（x-1）+f（1-x）=2，則函數f（x）的圖象關于點（0，1）對稱；
②若函數f（x）滿足條件f（x-1）=f（1-x），則函數f（x）的圖象關于y軸對稱；
③在同一坐標系中，函數y=f（x-1）與y=f（1-x）其圖象關于直線x=1對稱；
④在同一坐標系中，函數y=f（1+x）與y=f（1-x）其圖象關于y軸對稱．
其中，真命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①取點（x，f（x）），則關于點（0，1）對稱點的坐標為（-x，2-f（x）），利用條件可得結論；
②令t=1-x，有f（t）=f（-t），則函數y=f（x）的圖象關于直線y軸對稱；
③f（x）與y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱，利用圖象的變換，可得結論；
④在同一坐標系中，點（x，y）在函數y=f（1+x）的圖象上，則（-x，y）在y=f（1-x）的圖象上，可得結論．

解答：解：①取點（x，f（x）），則關于點（0，1）對稱點的坐標為（-x，2-f（x））
∴2-f（x）=f（-x）
∵f（x-1）+f（1-x）=2，∴f（x）+f（-x）=2，∴2-f（x）=f（-x），即①正確；
②若f（1-x）=f（x-1），令t=1-x，有f（t）=f（-t），則函數y=f（x）的圖象關于直線y軸對稱，即②正確；
③∵f（x）與y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱，函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象可以由f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了一個單位而得到，從而可得函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱，即③正確；
④在同一坐標系中，點（x，y）在函數y=f（1+x）的圖象上，則（-x，y）在y=f（1-x）的圖象上，∴函數y=f（1+x）與y=f（1-x）其圖象關于y軸對稱，即④正確．
綜上，①②③④均為真命題．
故選D．

點評：本題考查命題真假的判斷，考查學生分析解決問題的能力，有難度．