Question

【題目】已知二次函數滿足，且.

（1）求的解析式；

（2）當時，不等式有解，求實數的取值范圍；

（3）設，，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

試題（1）設二次函數一般式，根據待定系數法求出a,b,c（2）不等式恒成立一般轉化為對應函數最值：x2－3x＋1的最小值>m，再根據二次函數性質求x2－3x＋1的最小值得實數m的范圍；（3）根據對稱軸與定義區間位置關系，分類討論函數取最大值的情況

試題解析：解：(1)令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入已知條件，

得：

∴

∴f(x)＝x2－x＋1.

(2)當x∈[－1,1]時，f(x)>2x＋m恒成立，

即x2－3x＋1>m恒成立；

令g(x)＝x2－3x＋1＝2－，x∈[－1,1]．

則對稱軸：x＝[－1,1]，g(x)min＝g(1)＝－1，

∴m<－1.

(3)G(t)＝f(2t＋a)＝4t2＋(4a－2)t＋a2－a＋1，t∈[－1，1]，對稱軸為：t＝.

①當≥0時，即：a≤；如圖1：

G(t)max＝G(－1)＝4－(4a－2)＋a2－a＋1＝a2－5a＋7，

②當<0時，

即：a>；如圖2：

G(t)max＝G(1)＝4＋(4a－2)＋a2－a＋1＝a2＋3a＋3，

綜上所述：

G(t)max＝