Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，定義y=f″（x）是函數y=f′（x）的導函數．若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．有同學發現：任何一個三次函數既有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心．根據這一發現，對于函數g（x）=2x³-6x²+3x+2+2013sin（x-1），則g（-2011）+g（-2010）+…+g（2012）+g（2013）的值為

4025

．

Answer 1

分析：令f（x）=2x³-6x²+3x+2，研究其對稱中心，h（x）=2013sin（x-1），研究其奇偶性，即可得出．

解答：解：令f（x）=2x³-6x²+3x+2，
則f′（x）=6x²-12x+3，f^″（x）=12x-12，
令f^″（x）=0，解得x=1，
∴x=1是函數f（x）的拐點，既是其對稱中心．
∴f（-2011）+f（2013）=2f（1）=f（-2010）+f（2012）=…=f（0）+f（2），
∴f（-2011）+f（-2010）+…+f（2012）+f（2013）=4025f（1）=4025．
令h（x）=2013sin（x-1），
則h（-2011）+h（-2010）+…+h（2012）+h（2013）=2013[sin（-2012）+sin（-2011）+…+sin2011+sin2012]=0，
∴g（-2011）+g（-2010）+…+g（2012）+g（2013）
=f（-2011）+f（-2010）+…+f（2012）+f（2013）+h（-2011）+h（-2010）+…+h（2012）+f（2013）
=4025+0=4025．
故答案：4025．

點評：本題考查了三次函數的對稱性、正弦函數的奇偶性，屬于難題．