Question

設數列{a_n}的通項公式為a_n=an+b（n∈N^*，a＞0）．數列{b_n}定義如下：對于正整數m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（1）若a=2，b=-3，求b₁₀；
（2）若a=2，b=-1，求數列{b_m}的前2m項和公式；  
（3）是否存在a和b，使得bm=3m+2(m∈N*)？如果存在，求a和b的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，a_n=2n-3，令a_n=2n-3≥10，可得最小的自然數n=7，從而求得b₁₀的值．
（2）令a_n≥m，求得 n≥

m+1

2

．根據b_m的定義可知：當m=2k-1時，bm=k（k∈N*）；當m=2k時，b m=k+1（k∈N^*）．再由b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+..b_2m-1）+（b₂+b₄+..+b_2m）=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]，運算求得結果．
（3）假設存在a和b滿足條件，根據b_m的定義可知，an+b≥m，且a＞0，對于任意的正整數m，都有3m+1＜

m-b

a

≤3m+2．當3a-1＞0（或3a-1＜0）時，不滿足條件，當3a-1=0時，可得-

2

3

≤b＜-

1

3

，從而得出結論．

解答：解：（1）由題意可得，a_n=an+b=2n-3，令a_n=2n-3≥10，可得n≥6.5，∴n=7，即b₁₀=7．
（2）∵a=2，b=-1，∴a_n=an+b=2n-1，對于正整數，令a_n≥m，求得 n≥

m+1

2

．
根據b_m的定義可知：當m=2k-1時，b_m=k（k∈N*）；
當m=2k時，b_m=k+1（k∈N*）．
∴b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+..b_2m-1）+（b₂+b₄+..+b_2m）
=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]=

m(m+1)

2

+

m(m+3)

2

=m²+2m．
 （3）假設存在a和b滿足條件，∵b_m=3m+2（m∈N*），
根據b_m的定義可知，an+b≥m，且a＞0，即 n≥

m-b

a

．
對于任意的正整數m，都有3m+1＜

m-b

a

≤3m+2恒成立，即-2a-b≤（3a-1）m＜-a-b恒成立．
當3a-1＞0（或3a-1＜0）時，可得 m＜-

a+b

3a-1

（或m≤-

2a+b

3a-1

），這與m是任意的正整數相矛盾．
當3a-1=0時，a=

1

3

，可得-

2

3

-b≤0＜-

1

3

-b，即-

2

3

≤b＜-

1

3

，進過檢驗，滿足條件．
綜上，存在a和b，使得bm=3m+2(m∈N*)，此時，a=

1

3

，且-

2

3

≤b＜-

1

3

．

點評：本題考查數列的前n項和公式的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用，屬于中檔題．