Question

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內，且O到AB、AD的距離分別為2和1． P是SC上的點，

SP

PC

=

1

3

．
（1）求證：OP∥平面SAD；
（2）求證：

AB

•

SC

是定值．

Answer 1

分析：（1）已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，在SD上取一點Q，使

SQ

QD

=

1

3

，只要證明四邊形PQMO是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）設點O向BC所引的垂線段為ON，利用向量的乘法進行證明．

解答：解：（1）證明：在SD上取一點Q，使

SQ

QD

=

1

3

，
設點O向AD所引的垂線段為OM．則OM=1．連接PQ，QM．
∵

SQ

QD

=

SP

PC

=

1

3

，
∴PQ∥CD．∵OM∥CD，∴PQ∥OM．∵

PQ

CD

=

1

4

，
∴PQ=1．∴四邊形PQMO是平行四邊形．
∴OP∥QM，∵QM?平面SAD，PO?平面SAD，
∴OP∥平面SAD．
（2）設點O向BC所引的垂線段為ON．
則ON=3，
∴

AB

•

SC

=

AB

•(

OC

-

OS

)=

AB

•

OC

-

AB

•

OS

=

AB

•

OC

=|

AB

||

OC

|cos∠CON=|

AB

||

ON

|=12．
∴

AB

•

SC

是定值．

點評：此題考查直線與平面平行的判斷及向量的應用，第一問此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，要注意這方面的題．