Question

（2013•和平區二模）如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA1=

2

，點D為A₁C₁的中點．
（I）求證：BC₁∥平面AB₁D；
（II）求證：A₁C⊥平面AB₁D；
（Ⅲ）求異面直線AD與BC₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）連接A₁B，交AB₁于O點，連接OD，由平行四邊形性質及三角形中位線定理可得OD∥BC₁，進而由線面平行的判定定理得到BC₁∥平面AB₁D；
（II）由直棱柱的幾何特征可得A₁A⊥B₁D，由等邊三角形三線合一可得B₁D⊥A₁C₁，進而由線面垂直的判定定理得到B₁D⊥平面AA₁C₁C，再由三角形相似得到A₁C⊥AD后，可證得A₁C⊥平面AB₁D．
（III）由（I）中OD∥BC₁，可得異面直線AD與BC₁所成角即∠ADO，解△ADO可得答案．

解答：證明：（I）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，連接A₁B，交AB₁于O點，連接OD
∵在△A₁BC₁中，A₁D=DC₁，A₁O=OB，
∴OD∥BC₁，
又∵OD?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D；
∴BC₁∥平面AB₁D；
（II）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面A₁B₁C₁；
∵B₁D?平面A₁B₁C₁；
∴A₁A⊥B₁D
在△A₁B₁C₁中，D為A₁C₁的中點
∴B₁D⊥A₁C₁
又∵A₁A∩A₁C₁=A₁，A₁A，A₁C₁?平面AA₁C₁C，
∴B₁D⊥平面AA₁C₁C，
又∵A₁C?平面AA₁C₁C，
∴B₁D⊥A₁C
又∵

A1D

AA1

=

AA1

AC

=

2

2

∴∠DA₁A=∠A₁AC=90°
∴△DA₁A∽△A₁AC，∠ADA₁=∠CA₁A
∵∠DA₁C+∠CA₁A=90°
∴∠DA₁C+∠ADA₁=90°
∴A₁C⊥AD
又∵B₁D∩AD=D，B₁D，AD?平面AB₁D；
∴A₁C⊥平面AB₁D；
解：（III）由（I）得，OD∥BC₁，
故AD與BC₁所成的角即為∠ADO
 在△ADO中，AD=

3

，OD=

1

2

BC₁=

6

2

，AO=

1

2

A₁B=

6

2

，
∵AD²=OD²+AO²，OD=AO
∴△ADO為等腰直角三角形
故∠ADO=45°
即異面直線AD與BC₁所成角等于45°

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，直線與平面平行的判定，（I）的關鍵是證得OD∥BC₁，（II）的關鍵是熟練掌握線面垂直與線線垂直之間的轉化，（III）的關鍵是得到異面直線AD與BC₁所成角即∠ADO．