Question

（2011•順義區一模）已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，且經過點P(1，

3

2

)．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=

1

2

x+m與橢圓G交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點T，當m變化時，求△TAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓的離心率e=

1

2

，且經過點P(1，

3

2

)，結論方程組，即可求得橢圓G的方程；
（Ⅱ）直線l：y=

1

2

x+m與橢圓方程聯立，利用韋達定理，進而可表示出三角形的面積，根據橢圓與直線有兩個不同的交點，確定m的范圍，即可求得△TAB面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由已知

e= 1- b2 a2 = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得

a2=4 b2=3

----（2分）
∴橢圓G的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．----（4分）
（Ⅱ）

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

消去y得：x²+mx+m²-3=0，----（5分）
∵橢圓與直線有兩個不同的交點，∴△＞0，即m²＜4，----（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x₀，y₀）
∴x₁+x₂=-m，x1x2=m2-3，
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

2

12-3m2

，
x0=

x1+x2

2

=-

m

2

，y0=

1

2

x0+m=

3

4

m，∴M(-

m

2

，

3

4

m)----（8分）
設T（t，0），∵MT⊥AB，∴K_MTK_AB=-1，解得t=-

m

8

，----（10分）
∴T(-

m

8

，0)，MT=

3 5

8

|m|，
∴S△TAB=

1

2

|AB|•|MT|=

15

32

-3(m2-2)2+12

，
∵0＜m²＜4----（12分）
∴當m²=2即m=±

2

時，△TAB面積最大為

15 3

16

----（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，正確表示三角形的面積是關鍵．