Question

已知圓C的方程為，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，
直線AB恰好經過橢圓T：（a＞b＞0）的右頂點和上頂點．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l：y＝kx＋（k＞0）與橢圓T相交于P，Q兩點，O為坐標原點，
求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

（1）；（2）1.

試題分析：（1）思路一：由題設可知，過點M（2，4）作圓C的兩條切線中有一條斜率不存在，方程為，另一條斜率存在，可首先設出這條切線的斜率，利用圓的切線的性質列方程確定斜率值從而得到切線方程，最后利用直線與圓的方程組成方程組，求出切點的坐標，即橢圓的頂點，進而求得橢圓的方程.
思路二：利用結論：設為圓外一定點，是圓的兩條切線，其中為切點，則直線的方程為：直接求直線的方程，以下同.
（2）利用直線與圓的方程聯立所得方程組，結合韋達定理，求出用表示的弦長，利用點到直線的距離公式求出△OPQ的底邊上的高，從而將△OPQ面積表示成的函數，最后用基本不等式求出其最大值.
試題解析：（1）由題意：一條切線方程為：，設另一條切線方程為： 
則：，解得：，此時切線方程為：    2分
切線方程與圓方程聯立得：，則直線的方程為 
令，解得，∴；令,得,∴
故所求橢圓方程為            6分
（2）聯立整理得，
令，，則，，
，即：                
原點到直線的距離為，               8分
，
∴[
當且僅當時取等號，則面積的最大值為1．         12分