Question

若二次函數y=f（x）的圖象經過原點，且1≤f（-1）≤2，3≤f（1）≤4，求f（-2）的范圍．

Answer 1

分析：法一，先根據要求設出二次函數，可以利用基本不等式性質變形找出f（2）解決；
法二，用數形結合思想，利用線性規劃的方法求解；
法三，利用方程思想反解a、b，利用f（-1）、f（1）來表示f（2）進而求解．

解答：解：因為y=f（x）的圖象經過原點，所以可設y=f（x）=ax²+bx．于是

1≤f(-1)≤2 3≤f(1)≤4

∴

1≤a-b≤2 3≤a+b≤4

   （I）
解法一（利用基本不等式的性質）
不等式組（Ⅰ）變形得

2≤2a-2b≤4 4≤2a≤6

∴6≤4a-2b≤10，∴6≤f（-2）≤10，
所以f（-2）的取值范圍是[6，10]．
解法二（數形結合）
建立直角坐標系aob，作出不等式組（Ⅰ）所表示的區域，如圖中的陰影部分．
因為f（-2）=4a-2b，
所以4a-2b-f（-2）=0表示斜率為2的直線系．
如圖，當直線4a-2b-f（-2）=0過點A（2，1），B（3，1）時，
分別取得f（-2）的最小值6，最大值10．
即f（-2）的取值范圍是：6≤f（-2）≤10．
解法三（利用方程的思想）
∵

f(1)=a+b f(-1)=a-b

，∴

a= 1 2 [f(1)+f(-1)] b= 1 2 [f(1)-f(-1)]

又f（-2）=4a-2b=3f（-1）+f（1），而
1≤f（-1）≤2，3≤f（1）≤4，①
所以3≤3f（-1）≤6．②
①+②得4≤3f（-1）+f（1）≤10，即6≤f（-2）≤10．

點評：本題考查不等式的應用，數形結合思想，線性規劃以及方程思想在本題中得到很好的體現，屬于基礎題．