Question

（2012•武清區一模）已知函數f（x）對任意的x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）f（y），且當x＞0時，0＜f（x）＜1，設M={y|f（y）f（1-2a）＞f（1）}，N={y|f（ax²+2x-y+3）=1，x∈R}，若M∩N=∅，則實數a的取值范圍是

1

2

≤a≤1

．

Answer 1

分析：利用賦值法證明f（0）=1，因為f（x+y）=f（x）f（y），且當x＞0時，0＜f（x）＜1，利用賦值法，可求得f（0）=1，斷集合M，N分別表示什么集合，兩個集合都是數集，M表示直線y=2a下方區域中y的值，N表示曲線y=ax²+2x+3，因為M∩N=∅，所以二者沒有交點，據此可求出參數的范圍．

解答：解：∵f（x+y）=f（x）f（y），令x=1，y=0，則f（1）=f（1）f（0），
∵x＞0時，0＜f（x）＜1，
∴f（1）＞0，
∴f（0）=1；
令y=-x，有f（0）=f（x）f（-x）=1，
∵當x＞0時，0＜f（x）＜1，
∴-x＜0，f（-x）=

1

f(x)

＞1．
即x＜0時，f（x）＞1．①
∴由f（y）f（1-2a）＞f（1）得，f（y）f（1）f（-2a）＞f（1），而f（1）＞0，
∴f（y）f（-2a）＞1，又f（x+y）=f（x）f（y），f（0）=1，
∴f（y-2a）＞f（0）=1，②
由①②可得y-2a＜0．即M={y|y＜2a}，③
由f（ax²+2x-y+3）=1，得：ax²+2x-y+3=0，
∴y=ax²+2x+3④．
令g（x）=y=ax²+2x+3，
當a＜0時，g（x）為開口向下的拋物線，y≤

4a×3-4

4a

=3-

1

a

，即N={y|y≤3-

1

a

}，又M={y|y＜2a}，M∩N不可能為∅；
當a=0，y＜2a表示直線x=2a下方區域，g（x）=2x+3，此時M∩N非空；
當a＞0，g（x）為開口向上的拋物線，y≥3-

1

a

，即N={y|y≥3-

1

a

}；M={y|y＜2a}，而M∩N=∅，
∴3-

1

a

≥2a＞0．
∴

2a2-3a+1

a

≤0，而a＞0，
∴

1

2

≤a≤1．
故答案為：

1

2

≤a≤1．

點評：本題主要考查了賦值法求抽象函數的函數值，著重考查對抽象函數關系式的理解與用用，突出轉化思想與分類討論思想的考查，屬于難題．