Question

已知橢圓，其長軸為A₁A，P是橢圓上不同于的A₁、A的一個動點，直線PA、PA₁分別與同一條準線l交于M、M₁兩點，試證明：以線段MM₁為直徑的圓必經過橢圓外的 一個定點。

Answer 1

解析：由已知，可設一條準線l的方程為

橢圓上動點P的坐標為（則

直線PA的方程為

解方程組 

解方程組 …………….5分

設線段MM₁的中點為Q

=    ………………….10分

MM₁=

=

故以線段MM₁為直徑的圓的方程為

      …………………15分

令y=0，得

        =

所以

可見，以線段MM₁為直徑的圓必經過橢圓外的一個定點（………20分

當l為左準線時，也有相應的結論。