Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB ，  AB=2 ，  EB=

3

 ，  EF=1 ，BC=

13

且M是BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EM∥平面ADF；
（2）求直線DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角D-AF-B的大小．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點(diǎn)N，連接MN、NF．由三角形中位線定理，結(jié)合已知條件，證出四邊形MNFE為平行四邊形，從而得到EM∥FN，結(jié)合線面平行的判定定理，證出EM∥平面ADF；
（2）取AB中點(diǎn)G，連接FG，DG，可得∠FDG為直線DF和平面ABCD所成角，從而可求直線DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求出平面ADF、平面EBAF的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角D-AF-B的大小．

解答：解：（1）取AD的中點(diǎn)N，連接MN，NF．
在△DAB中，M是BD的中點(diǎn)，N是AD的中點(diǎn)，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB．
又∵EF∥AB，EF=

1

2

AB，∴MN∥EF且MN=EF，
∴四邊形MNFE為平行四邊形，可得EM∥FN．
又∵FN?平面ADF，EM?平面ADF，
∴EM∥平面ADF；
（2）取AB中點(diǎn)G，連接FG，DG，則FG∥EB，F(xiàn)G=

3

∵EB⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∴∠FDG為直線DF和平面ABCD所成角
∵BC=

13

，AB=2，∠ABD=90°，∴BD=3
∵BG=1，∴DG=

10

∴tan∠FDG=

FG

DG

=

3

10

=

30

10

；
（3）因?yàn)镋B⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz．
由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），F(xiàn)（0，1，

3

）
∴

AD

=（3，-2，0），

AF

=（0，-1，

3

）．
設(shè)平面ADF的一個(gè)法向量是

n

=（x，y，z）．
由

n • AD =0 n • AF =0

，得

3x-3y=0 -y+ 3 z=0

，令y=3，則

n

=（2，3，

3

）
因?yàn)镋B⊥平面ABD，所以EB⊥BD．
又因?yàn)锳B⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．
∴

BD

=（3，0，0）是平面EBAF的一個(gè)法向量．
∴cos＜

n

，

BD

＞=

n • BD

| n || BD |

=

1

2

∵二面角D-AF-B為銳角，
∴二面角D-AF-B的大小為60°

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查線面角，考查面面角，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．