Question

【題目】已知函數，曲線在點處切線與直線垂直(其中為自然對數的底數).

（1）求的解析式及單調減區間；

（2）是否存在常數，使得對于定義域的任意恒成立，若存在，求出 的值；若

不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)，減區間為和；(2).

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件運用導數的幾何意義求解；(2)借助題設分離參數構造函數運用導數的知識探求.

試題解析：

（1）函數的定義域為，又由題意有：，所以，故.此時，，由,解得或.所以函數的單調減區間為和.

（2）要恒成立，即，即.①當時，,則要恒成立，令，則,令，則,所以在內遞減，所以當時，，故，所以在內遞增，，故.②當時，, 則要恒成立. 由①可知，當時，,所以在內遞增，所以當時，,故,所以在內遞增,，故. 綜合① ②可得:, 即存在常數滿足題意.