Question

(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．

已知函數．

(1) 試說明函數的圖像是由函數的圖像經過怎樣的變換得到的；

(2) (理科)若函數，試判斷函數的奇偶性，并用反證法證明函數的最小正周期是；

 (3) 求函數的單調區間和值域．

 

Answer 1

【答案】

解(1)∵

，     

∴．

∴函數的圖像可由的圖像按如下方式變換得到：

①將函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像；

②將函數的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數的圖像；

③將函數的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到函數的圖像．

(2)(理科)由(1)知，，

　∴．

  又對任意，有，

　∴函數是偶函數．

　∵，

∴是周期函數，是它的一個周期．

現用反證法證明是函數的最小正周期。

反證法：假設不是函數的最小正周期，設是的最小正周期．

則，即．

令，得，兩邊平方后化簡，得，這與()矛盾．因此，假設不成立．

所以，函數的最小正周期是．

 (3)(理科)先求函數在一個周期內的單調區間和函數值的取值范圍。

當時，，且．

易知，此時函數的單調增區間是，單調減區間是；

函數的取值范圍是．

因此，依據周期函數的性質，可知函數的單調增區間是

；單調減區間是；

函數的值域是．

【解析】橫坐標先放縮，再平移也可．即將函數的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數，再將函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像，最后將函數的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到函數的圖像．